CURVAS EN R2 Y ECUACIONES PARAMETRICAS

TEORIA

2.1.- ECUACION PARAMETRICAS DE LA LINEA RECTA.

Una ecuación Paramétrica es una ecuación que está basada en una variable en particular.

Una ecuación Paramétrica en términos generales, se conoce también como Representación Paramétrica Ejemplo: Considere la ecuación x = 2 + 3t. En esta ecuación, "t" denota el parámetro y la ecuación se conoce como ecuación Paramétrica en términos de "t".

2.2.- CURVAS PLANAS.

Las curvas planas son aquellas que residen en un plano, puede ser abierta o cerrada. La curva plana es la representación grafica de una función real de una variable real.

Características:

- La recta secante de una curva es la que une dos puntos de la curva separados por una distancia finita.

- El orden de una curva es el numero máximo de puntos de corte con una secante.

- La recta tangente a una curva en un punto es un limite a que tiende la secante cuando los dos puntos de corte tienden a confundirse.

- La clase de una curva es el numero máximo de tangentes que se pueden trazar desde un punto exterior. Por ejemplo: La circunferencia es una curva de clase dos.

- La recta normal a una curva es la perpendicular a la tangente por el punto de tangencia.

- Para las curvas planas, la mas importante de estas normales, es la coplanaria con la curva, que es la normal principal.

2.3.- ECUACIONES PARAMETRICAS DE ALGUNAS CURVAS Y SU REPRESENTACION GRAFICA.

CIRCUNFERENCIA: Sea la circunferencia de centro en O y radio a. Sean además M(x, y) un punto de la curva y Θ = ángXOM.

Se tiene, como ecuaciones paramétricas de la circunferencia:

x = a Cos 𝜃

y = a Sin 𝜃

CICLOIDE: Es la curvatura descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, a lo largo de una recta fija.

Tómese al eje x como la recta fija OX sobre la cual se hace rodar la circunferencia de centro C y radio r, y sea M el punto fijo que describe la curva.

En el momento en que comienza a rodar la circunferencia, el punto M coincide en el origen con T, punto de contacto de la circunferencia con OX. Cuando M y T lleguen a A, cada punto habrá hecho un recorrido igual a 2πr, es decir, en todo instante genérico, la distancia OT es igual al arco TM. Teniendo presente que cuando la medida del ángulo se da en radianes, el arco es igual al radio multiplicado por el número que mide el ángulo, se puede escribir: 𝑥 =

𝑂𝑃 = 𝑂𝑇 − 𝑀𝑁 = r 𝜃 − 𝑟 sin 𝜃 ;

𝑦 = 𝑃𝑀 = 𝑇𝐶 − 𝑁𝐶 = 𝑟 − 𝑟 cos 𝜃 ;

𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:

𝑥 = 𝑟 ( 𝜃 − 𝑟 sin 𝜃);

𝑦 = 𝑟 1 − cos 𝜃 ;

HIPOCICLOIDE: Es la curvatura que describe un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, permaneciendo siempre tangente interiormente a otra circunferencia fija.

Sean a el radio de la circunferencia fija de centro O, b el radio de la circunferencia menor, de centro O´, que rueda, permaneciendo siempre tangente a la circunferencia mayor, M el punto fijo de la circunferencia menor que describe la hipocicloide, y T el punto de tangencia. En A coinciden M y T. cuando M haya descrito la arcada AB; habrá girado 360°, y el punto T habrá recorrido el arco AB; o sea: arco AB=2πb.

Conviene expresar el ángulo φ en función de Θ para que figure un parámetro solamente.

ASTROIDE: Si los radios de las circunferencias que intervienen en la generación de la hipocicloide son inconmensurables, la curva no vuelve a pasar por el punto inicial A. Pero, si los radios a y b son conmensurables, resulta una curva cerrada.

En el caso particular de b=(1/4)a, se obtiene una curva llamada astroide. Las ecuaciones paramétricas de esta curva se deducen de las de la hipocicloide, sustituyendo b por (1/4)a y después reduciendo queda:

𝑥 = 𝑎 cos3 𝜃 ;

𝑦 = 𝑎 sen3 𝜃

Que son las ecuaciones paramétricas de la astroide.

2.4.- DERIVADA DE UNA FUNCION DADA PARAMETRICAMENTE.

Si una curva suave C está dada por la ecuaciones x = f(t) y y = g(t), entonces la pendiente de C en (x, y) es

𝑑𝑦 𝑑𝑦/𝑑𝑡, 𝑑𝑥 ≠ 0

𝑑𝑥 = 𝑑𝑥/𝑑𝑡 𝑑𝑡

Esto se da ya que cumple con el teorema que proporciona las condiciones necesarias para obtener la derivada de una función dada en forma paramétrica:

𝑆𝑒𝑎𝑛 𝑓 𝑦 𝑔 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑡1 ,𝑡2] . 𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜. 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓´ (𝑡) ≠ 0, 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

𝑥 = 𝑓 (𝑡) , 𝑦 = 𝑔 (𝑡) 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐹 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 𝑓 (𝑥), 𝑦 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠

𝐷𝑥𝑦 = 𝑔 ′ (𝑡) 𝐷𝑡𝑦

𝑓´ (𝑡) = 𝐷𝑡𝑥

Derivadas de orden superior para una función dad en forma parametrica 𝑆𝑖 𝑥 𝑦 𝑦 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐷𝑥 2𝑦 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑒:

2 𝐷𝑡 (𝐷𝑥𝑦)

𝐷𝑥 𝑦 = 𝐷𝑥 (𝐷𝑥𝑦) = 𝐷𝑡y

En general, para obtener la enésima derivada, cuando las ecuaciones están dadas en forma paramétrica, se aplica la siguiente igualdad:

n 𝐷𝑡(𝐷𝑥 𝑛−1𝑦)

𝐷𝑥 𝑦 = 𝐷𝑡x

2.5. - COORDENADAS POLARES.

Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado polo (u origen), y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar, como se muestra en la figura. A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, 𝜃), como sigue.

representan el mismo. También, como r es una distancia dirigida, las coordenadas pueden representar el mismo punto. En general, el punto puede expresarse como:

(𝑟, 𝜃) = (𝑟, 𝜃 + 2𝑛𝜋)

𝑜

(𝑟, 𝜃) = (−𝑟, 𝜃 + (2𝑛 + 1) 𝜋)

Donde n es cualquier entero. Además, el polo está representado por (0,𝜃), donde 𝜃 es cualquier ángulo.